摘　　要

　　黃秀清，王立新。也談利率的計(jì)算公式。數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理。1999，18（1），36～38

　　本文在起始不變原則、倍本原則和迭加原則假定下，得出資金率生長函數(shù)；指出其神同形異的兩種表現(xiàn)形式；列出常用的單位時(shí)間利率——年利率、月利率、日利率三者之間的互換關(guān)系。

　　李煒同志與高俊科同志就“復(fù)利率的連續(xù)計(jì)算方法”在“數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理”上展開了討論［1，2］。本文想就此問題談?wù)剛�(gè)人的看法，以期引出明確而科學(xué)的認(rèn)識。

　　Discussion on the Calculation of interest rate

　　Huang Xiuqien　Wang Lixin（Beijing Computer Center，CNSPC）

　　Abstract

　　In this paper，based on three assumptions we obtain the two growth functions for its interest，which have different form，but identical essentially.We establish the formula for calculation to transform the interest rates in year、month & day，from each to other. Key Words：Compound interest，Assumption of three principles，Growth function for a amount of principal and its interest，Interest rate in unit of time.

　　§1.資金率生長公式

　　設(shè)初始起存本金為A0元，t時(shí)間后的資金總額（本息合計(jì)）為A（A0，t）。這是一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)。根據(jù)對儲蓄存款內(nèi)涵的分析研究，我們認(rèn)為A（A0，t）應(yīng)滿足如下的三個(gè)假設(shè)條件：

　　首先，起始不變原則：即要求

　　A（A0，0）=A0　　（1）

　　其次，倍本原則：存期相同時(shí)的資金總額與初始本金成正比，其比例系數(shù)僅是與存期t有關(guān)的函數(shù)，記為f（t）。亦即要求

　　A（A0，t）=A0.f（t）　�。�2）

　　第三，續(xù)存迭加原則：將起始本金A0、已存期t1的資金總額做為新本金，接續(xù)存t2時(shí)間后的新資金總額，應(yīng)與原始本金A0、存期（t1+t2）時(shí)間的資金總額相等。即要求對任意的t1，t2皆有

　　A（A（A0，t1），t2）=A（A0，t1+t2）　　（3）

　　實(shí)際上，這第三條就是復(fù)利原則。

　　下面，我們來推導(dǎo)滿足這三條假設(shè)的連續(xù)函數(shù)所具有的形式。

　　由（1）、（2）知

　　f（0）=1　�。�4）

　　（2）代入（3）之左邊得

　　A（A（A0，t1），t2）=A（A0.f（t1），t2）

　　=A0.f（t1）。f（t2）（5）

　�。�2）代入（3）之右邊得

　　A（A0，t1+t2）=A0.f（t1+t2）　�。�6）

　�。�5）與（6）結(jié)合而得出

　　f（t1+t2）=f（t1）。f（t2）　�。�7）

　　記

　　f1≡f（1）　　（8）

　　由（7）可以進(jìn)一步推出

　　f（t）=（f1）t　�。�9）

　　A（A0，t）=A0（f1）t　�。�10）

　　這只須使用函數(shù)的連續(xù)性，逐步對t為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)推證即可。上述屬于生長函數(shù)之類，分別稱為資金率生長函數(shù)和資金生長函數(shù)。

　　§2.單位時(shí)間利率之互換

　　我們回顧一下符號式的含意。A0為初始本金。A（A0，t）為存期t的資金總額。A（A0，t）-A0=A0（f（t）-1）為其存期t的利息。（A（A0，t）-A0）/A0=f（t）-1為存期t的利率。而（A（A0，1）-A0）/A0=f1-1≡r稱為單位時(shí)間利率。其值為常數(shù)，隨選擇的單位時(shí)間不同而不同。分別可稱為年利率，月利率，日利率，等等。請注意，這里的“率”一詞是相對于本金的。

　　顯然，利息的計(jì)算應(yīng)與時(shí)間單位的選擇無關(guān)，此即利率不變原理。由此可以推出不同時(shí)間單位的單位時(shí)間利率之間的換算關(guān)系。

　　比如：設(shè)年利率、月利率、日利率分別記為γy，γm，γd.顯然，以年利率γy存期1年的資金總額，應(yīng)等于以月利率γm存期12個(gè)月的資金總額，也應(yīng)等于以日利率γd存期365天的資金總額。即

　�。�1+γy）=（1+γm）12=（1+γd）365　�。�11）

　　這就是利率不變原理。

　　從（11）可推出

　　γy=（1+γm）12-1=（1+γd）365-1　�。�12）

　　γm=（1+γy）1/12-1=（1+γd）365/12-1　　（13）

　　γd=（1+γy）1/365-1=（1+γd）12/365-1　�。�14）

　　在實(shí)際中，時(shí)間單位常常是看如何方便計(jì)算來決定的，往往與計(jì)息周期相同。

　　§3.資金率生長函數(shù)的兩種表現(xiàn)形式

　　我們令

　　γ=f1-1　�。�15）

　　代回到（9）就有

　　f（t）=（1+γ）t　　（16）

　　此即人們通常所說的“復(fù)利率計(jì)算公式”。

　　我們令

　　α=ln（f1）， f1=eα　　（17）

　�。�9）就變成

　　f（t）=eαt　　（18）

　　此即人們通常所說的“復(fù)利率連續(xù)計(jì)算公式”。

　　其實(shí)，它們是同一個(gè)公式。除了形式不同外，沒有本質(zhì)的區(qū)別。僅是“貌異神同”而已！那種從（16）出發(fā)再利用近似、求極限而推導(dǎo)（18）的作法［1］只不過是“畫蛇添足”而已。其次，這里的“復(fù)利率”一詞用語并不恰當(dāng)，它們應(yīng)稱為“資金率”計(jì)算公式，即單位本金及其利息和的計(jì)算公式。

　　請注意，其間已蘊(yùn)含有

　　α=ln（1+γ）　�。�19）

　　和

　　γ=eα-1　�。�20）

　　α與γ是數(shù)值與含意皆不相同的兩個(gè)量。前者是資金率生長函數(shù)的瞬間生長系數(shù)，“系數(shù)”一詞是相對于時(shí)間的。后者是單位時(shí)間利率，即單位本金單位時(shí)間的利息。

　　最后，我們重申：f（t）不是利率函數(shù)，而是資金率函數(shù)。換句話說，f（t）不是單位本金之增加函數(shù)，而是單位本金及其利息和的生長函數(shù)。

　　作者單位：黃秀清　王立新　�。ㄖ袊�新星石油公司北京計(jì)算中心　北京　100083）

　　參考文獻(xiàn)

　　［1］。李煒，1998，也談復(fù)利率的連續(xù)計(jì)算方法，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，17（6）。

　�。�2］。高俊科，1998，關(guān)于復(fù)利率的連續(xù)計(jì)算方法，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，17（2）：33-34.